こんにちは。いつも図形問題の鮮やかな解答を楽しく拝見しています。
先日、このような図形問題を見つけました。
https://www.youtube.com/watch?v=b8IP5SAOPIU
【中学受験算数】平面図形 超難問の角度の問題 これきちんと説明できる小学生はいるの? 西大和学園中2019年【最難関クラス/偏差値up】
動画では完全に初等幾何の範囲で解いています。
差支えなければ、高校数学ならどのような解法になるのか、主さんの答案をお聞きしたいです。
どうかよろしくお願いします。
算数の入試問題は基本1問5分なので図形はたいていとんち問題です。
点D,E,Mの3点を固定して考えると破綻します。←答えがなくなることがあるから。
A,D,E,Mのうちどれか2点を固定して考えるのがこの問題のポイント。
それに気づけば、算数も高校数学も同じ答えです。
【算数】
BM=MCを保ちながら蟹の爪を閉じていくとMで閉じ切って44°
【算数】
MとAが固定のとき与えられた条件はBM=MC=0でも成り立つので∠DME=22°+22°=44°
Aがどこにあっても同様なので∠DME=44°
【算数】
MとEが固定のとき△AMEは一意的に決まる。そのとき△AMDも一意的に決まり、△AME≡△AMDとなる。したがって∠DME=∠AME+∠AMD=22°+22°=44°
このことは平面上の同一でない任意の2点において成り立つ。
私は数学は自由だと思っているので、「~~禁止」とか「~~で解け」とかは嫌いです。
普通は高校生でも上と同じ解き方をするでしょう。
でも今回は特別に高校数学版別解も考えました。
どんなやりかたもできますが計算が一番楽なのは複素数平面かなと思います。
【高校数学】
複素数平面で考える。
A(0) C(z) また α=cos22°+(sin22°)i とすると sin22°=(α-α*)/(2i)
EはAを90°-22°=68°回転してsin22°を掛けたものなので
E((α-α*)z/(2α)=(1-α*^2)z/2)
またB(kz*) とすると同様に D(k(1-α^2)z*/2)
∴M((z+kz*)/2)
∴∠DME=Arg(((-k(α^2)z*-z)/2)/(-(α*^2)z-kz*)/2))
=Arg((k(α^2)z*+z)/((α*^2)z+kz*))=Arg(α^2)=44°
でもその後のリスポンスがない...