東大合格コム

中学2年から不登校、高校も1ヶ月で中退後、塾も予備校も行かず全くの独学で大検から東大理Ⅲに行った私が、独自に編み出した独習法を伝授します。

2018年02月

中学レベルの英語から、入試レベルの英語に引き上げる最速の方法を紹介します。
長文を読んだり、英文を書いてみたり、ヒアリングの練習はアウトプット練習です。
その前にやることがあります。それはインプットです。つまり英単語と英文法を覚えます。
それがないのにアウトプット練習をするのは効率が悪いです。

まず、最初の1ヶ月で英単語を覚えます。
私のおすすめは『英単語ターゲット1900(旺文社)』です。
<<この本の使い方>>
1)最初から100語ずつレベル別に並んでいます。
まず最初のレベルの100語分だけ、ページの英単語の部分を折り返します。
そうすると英単語だけが見えますので、完全に問題集になります。
単語の暗記は1ページ単位で覚えます。
2)ぱらぱらと開いてでたページの単語を全部テストして、1ページテストが終わったら訳が言えなかった単語を覚えます。そのとき訳は赤字の1つだけしか見ませんし覚えません。
全部言えたら折り返したページをまっすぐに戻します。
3)このパラパラテストを何回もやると1日で100語覚えられます。
全部のパートを覚えたら一度全ページを折り返してトータルチェックします。
これを1ヶ月繰り返して、1冊完璧に仕上げます。
成功の秘訣は、ぼろぼろになるまで常に持ち歩くことです。
英単語ターゲット1900


次の1ヶ月で英文法を覚えます。
私のおすすめは『これが入試に出る!英文法・語法問題ベスト400(学研)』です。
<<この本の使い方>>
問題を普通に解いた後、英文を覚えます。最終的に日本語訳をみて、英文がすぐに言えるようにします。結局400文の英文を全部覚えることになります。ここまでやって初めて英作文に役立つレベルの英文法が身につきます。
成功の秘訣は、少数でも完璧にやることです。中途半端はむしろ毒だと肝に銘じてください。
これが入試に出る!英文法・語法問題ベスト400


この2つが終わったら、やっと入試英語に立ち向かうベースができました。
長文、作文、ヒアリングなどのアウトプット練習をしていきます。
時間がない人はこのまま赤本へ進みます。

三角形の五心とは、
外心 3辺の垂直二等分線の交点
内心 3つの内角の二等分線の交点
重心 3つの中線の交点
垂心 各頂点から対辺に下ろした垂線の交点
傍心 1つの内角と他の2つの外角の二等分線の交点
ですが、傍心については研究不足な人が多いのではないでしょうか?

傍心
(『平面図形ノート』数研出版より)
上の1,2の説明は下の問題のヒントです。
答.AEは∠Aの外角の二等分線だから、BE:EC=AB:AC=7:4よりCE=8
⊿ACEにおいて、CDは∠ACEの二等分線であるから、AD:DE=CA:CE=1:2
(この点Dを傍心といい、BDは∠ABCを二等分します。∵⊿ABEにおいてAB:AE=AD:DE=1:2)

傍心の証明
傍心3
(画像クリックで拡大します)
(証4)はベクトルによる証明ですが、角の二等分線の性質(上の1の説明)を使っています。角の二等分線の性質は以前、ベクトルで証明してありますので、幾何の手助け無く完全にベクトルで解析したことになります。

大学入試問題にありました。傍心2
(『数学重要問題集(文系)』数研出版より)
これは傍心を扱ったベクトルの問題です。(1)が(2)のヒントになっていますので、簡単に解けると思います。
答.(1)略(ヒント:上の1の説明文より証明) (2)=5/4・+7/4・

ベクトルまとめ
(画像クリックで大きくなります)

問題1.
三角形OABにおいて、辺OAの中点をM、辺OBを2:1に内分する点をNとする。直線ANと直線BMの交点をPとする。Oを始点とする点A,B,Pの位置ベクトルをそれぞれa,b,pとするとき、を用いて表せ。
解答1.
α=1、β=1/2より、p=(α+β)/(αβ+α+β)・(β+α)=/4+/2

問題2.
空間の2直線 l:(x、y、z)=(3,2,1)+s(1,2,1)、m:(x、y、z)=(-2,1,0)+s(1,-1,-2)の最短距離dを求めよ。
解答2.
=(1,-1,1)とおくと、・(1,2,1)=0、・(1,-1,-2)=0よりは2直線に直交する。
l上の点(3,2,1)からm上の点(-2,1,0)までの線分の方向への正射影の長さがdとなるので、
d=|{(-2,1,0)-(3,2,1)}・(1,-1,1)|/|(1,-1,1)|=5/3・root3
別解2.
lを含むに垂直な平面αは ・(-(3,2,1))=0 と書けるので、これとm上の点(-2,1,0)との距離がdとなるので、
d=|(1,-1,1)・{(-2,1,0)-(3,2,1)}|/|(1,-1,1)|=5/3・root3

問題3.
xyz空間に、4点A(1,1,-2)、B(1,-1,2)、C(-1,2,0)、D(3,3,3)がある。四面体ABCDの体積Vを求めよ。
解答3.
A、B、C、Dの位置ベクトルをそれぞれa、b、c、dとする。三角形ABCの面積Sは、S=1/2・root(20・9-36)=6
=(2,2,1)とすると、n・(b-a)=0,n・(c-a)=0よりb-a、c-aと直交する。ABCの作る平面αは、n・(p-a)=0なのでDから三角形ABCにおろした垂線の長さhは、h=|n・(d-a)|/||=13/3 よってV=1/3・Sh=26/3
別解3.
Aを始点とする点B、C、Dの位置ベクトルをそれぞれb、c、dとすると、=(0,-2,4)、=(-2,1,2)、=(2,2,5)となる。
×=(-8,-8,-4)とすると、S=1/2・||=6、hは方向への正射影の長さだから、d=|d・n|/||=13/3
よってV=1/3・Sh=26/3
(以上、問題文は『2014数学基本事項集』(河合塾)より)

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