問題
ABCは正三角形です。
D は、AD=8、BD=13、∠ADC =120° となる三角形 ABC 内の点です。
DCの長さはいくらですか?
答案
Dを原点、DCを実軸とする複素数平面で考える。
ωを120°の回転とすると ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0 より ω^2+ω+1=0
DC=xとすると C(x) A(8ω) B(z)
ABCは正三角形だから (z-x)/(8ω-x)=-ω^2 より z=-8-ωx
|z|=13 だから |8+ωx|=13 ∴x^2-8x-105=(x-15)(x+7)=0
∴x=15
幾何学的解法は
https://www.youtube.com/watch?v=Z2qDqtCK_WA&t=6s
ABCは正三角形です。
D は、AD=8、BD=13、∠ADC =120° となる三角形 ABC 内の点です。
DCの長さはいくらですか?
答案
Dを原点、DCを実軸とする複素数平面で考える。
ωを120°の回転とすると ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0 より ω^2+ω+1=0
DC=xとすると C(x) A(8ω) B(z)
ABCは正三角形だから (z-x)/(8ω-x)=-ω^2 より z=-8-ωx
|z|=13 だから |8+ωx|=13 ∴x^2-8x-105=(x-15)(x+7)=0
∴x=15
幾何学的解法は
https://www.youtube.com/watch?v=Z2qDqtCK_WA&t=6s