東大合格コム

中学2年から不登校、高校も1ヶ月で中退後、塾も予備校も行かず全くの独学で大検から東大理Ⅲに行った私が、独自に編み出した独習法を伝授します。

問題 
ABCは正三角形です。
D は、AD=8、BD=13、∠ADC =120° となる三角形 ABC 内の点です。
DCの長さはいくらですか?
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答案
Dを原点、DCを実軸とする複素数平面で考える。
ωを120°の回転とすると ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0 より ω^2+ω+1=0
DC=xとすると C(x) A(8ω) B(z)
ABCは正三角形だから (z-x)/(8ω-x)=-ω^2 より z=-8-ωx
|z|=13 だから |8+ωx|=13 ∴x^2-8x-105=(x-15)(x+7)=0
∴x=15

幾何学的解法は
https://www.youtube.com/watch?v=Z2qDqtCK_WA&t=6s

bft
Think in terms of the complex plane
let A(0) C(α) O(z) then B((α-α¯)/2) D((α+α¯)/2)
a^2+c^2=|z|^2+|α-z|^2=2ZZ¯-α¯z-αz¯+αα¯
b^2+d^2=|(α-α¯)/2-z|^2+|(α+α¯)/2-z|^2=2ZZ¯-α¯z-αz¯+αα¯
∴a^2+c^2=b^2+d^2


Think in terms of the complex plane
let A(-α) B(α¯) C(α) D(-α¯) O(z)
a^2+c^2=|α-z|^2+|-α-z|^2=2(|z|^2+|α|^2)
b^2+d^2=|-α¯-z|^2+|α¯-z|^2=2(|z|^2+|α|^2)
∴a^2+c^2=b^2+d^2

Viviani's theorem
The sum of the distances from any interior point to the sides of an equilateral triangle equals the length of the triangle's altitude.
250px-Viviani_Theorem.svg
u+s+t=h

Viviani's theorem ー Vector Proof
Viviani's theorem ー Complex Plane Proof

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(別解)
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z-a=lω^2+(1-l)ω
z-bω=m+(1-m)ω^2
z-cω^2=nω+(1-n)

z=(1-2l)ω+(a-l)
z=(b+m-1)ω+(2m-1)
z=(n-c)ω+(1-n-c)

1-2l=b+m-1=n-c
a-l=2m-1=1-n-c
∴a+b+c=3/2

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